Aplicaciones al Códice

Solapas principales

FACTIBILIDAD

Lo primero que hay que verificar es que los datos de los lados registrados en el Milcocolli pueden formar polígonos,
es decir, ningún lado es mayor que la suma de los demás. Esto se cumple.

EXACTITUD

Lo que sigue es determinar, en la medidad de lo posible, si las áreas registradas en el Tlahuelmantli son correctas.

La primera observación es que NO se puede determinar si son correctas dado que no hay información sobre ángulos o diagonales en el Micocolli ni se pueden deducir dado que las figuras no están a escala. Lo que sí se puede determinar es si las áreas son plausibles. Lo son si están entre el mínimo y el máximo del área para los lados dados.

Se calcularon las áreas máximas para  todos los polígonos y se vio que casi todos (cuantos) son plausibles.
Algunos tienen área registrada un poquito mayor que el área máxima pero igual al área dada por la Regla de Agrimensor.
Esta Regla fue usada por varios pueblos antiguos. Consiste en APROXIMAR el área de un cuadrilátero de lados
<i> a,b,c,d</i> por <i> (a+c)/2 x (b+d)/2</i>. La fórmula es correcta para los rectángulos pero sobreestima el área para otros cuadriláteros.

Poner resumen de los resultados sobre factibilidad.

Cuántos cuadriláteros existen con los mismos lados y la misma área

Al analizar los datos de los terrenos cuadrangulares de los códices y tratar de reconstruir sus formas surgió una pregunta muy natural que sin embargo no encontramos resuelta en la literatura:

Dados los lados y el área del cuadrilátero, ¿cuántas formas posibles hay?”

Resulta que este problema se reduce a un problema algebraico que se puede resolver con la ayuda de la geometría analítica y que además, la solución de las ecuaciones da lugar a un mecanismo geométrico muy interesante que se puede implementar visualmente y que al mismo tiempo muestra la solución explícita.

Planteamiento del problema

Sean a, b, c, d los lados de un cuadrilátero arbitrario, y sea Ac su área. Los lados se han ordenado de manera que a sea el lado más grande y el orden en que se dibujan los lados sean en el sentido del reloj. Dibujamos el cuadrilátero en el plano cartesiano de manera que los vértices estén en los puntos: A(0,0), B(u, v), C(w, z) y D(0, a).

Los vértices O y R están fijos por construcción puesto que sus coordenadas son conocidas, y los otros dos P y Q son desconocidos pero deben satisfacer que las longitudes de los lados y su área coincidan con los datos dados. De aquí que: AB mide b, BC mide c, CD mide d y DA mide a (lo cual es obvio por construcción).

PONER FIGURA

 

 

Utilizando las coordenadas de los vértices y el teorema de Pitágoras, esto es equivalente a:

u2 + v2 = b2, (1)

(u – w)2 + (v – z)2 = c2, (2)

(w – a)2 + z2 = d2, (3)

2 Ac = vw + z(a – u), (4)

El área Ac se puede hallar subdividiendo el cuadrilátero en triángulos y rectángulos (como se muestra en la figura), o bien utilizando la Fórmula del Agrimensor ya que las coordenadas de los vértices están dadas.

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene

2uw + 2vz – w2 – z2 = b2 - c2, (5)

y sumando (3) y (5)

w(a – u) – vz = M donde 2M = a2 + c2 - b2 – d2. (6)

Observamos que las ecuaciones (4) y (6) nos permiten reducir las cuatro incógnitas u, v, w, z a sólo dos ya que se pueden despejar w y z en términos de u y v:

Basta pues encontrar u y v para que w y z queden definidas.

Ahora podemos reducir más las ecuaciones sustituyendo (7) en (3). Para simplificar los cálculos, llamamos D al denominador común de las ecuaciones (7), así

y sustituimos (7) en (3):

Por lo tanto

lo que implica

Para simplificar la notación llamamos

lo cual nos permite escribir a la ecuación (8) como la recta

Como u, v satisfacen la ecuación (1) que es la ecuación del círculo con centro en (0, 0) y radio b y también satisfacen la ecuación (9) que es una recta, entonces el punto (u, v) está en la intersección de la recta y el círculo. En otras palabras u, v satisfacen:

Una observación, si se sustituye la ecuación (7) en la ecuación (2) en lugar de en la ecuación (3), se obtiene la misma recta (9), lo que nos da una prueba de consistencia.

Al resolver (10) para (u, v) se sustituye en (7) para hallar (w, z) y con ello el cuadrilátero queda determinado. Sin embargo las ecuaciones (10) nos dicen que, puesto que la recta y el círculo pueden intersectarse en uno o dos puntos, o bien hay un solo punto (u, v) y por tanto un solo (w, z) o hay dos soluciones, es decir dos posibles cuadriláteros. Con esto ya podemos contestar la pregunta planteada al principio:

Existen a lo más dos cuadriláteros con los mismos lados y la misma área.”

Esto nos lleva a las siguientes preguntas:

¿Cuándo existirá un solo cuadrilátero? ¿Cuándo no habrá intersección? ”

Geométricamente es muy fácil responder:

Cuando sólo haya una intersección entre el círculo y la recta. Cuando no haya intersección.”

Y, ¿cuándo ocurre esto? Observamos que el término P sólo depende de los lados mientras que R y Q dependen del área dada Ac. Esto nos permite ver cómo al variar Ac y fijar los lados dados se va moviendo la recta. Cuando Ac es muy grande para el tamaño de los lados a, b, c, d, no es posible tener tal cuadrilátero, entonces no hay intersección entre la recta y el círculo. Cuando Ac es igual al área máxima Am que pueden encerrar los lados a, b, c, d, entonces sólo puede haber un cuadrilátero y significa que la recta y el círculo son tangentes. Por último, cuando Ac < Am, habrá dos intersecciones entre la recta y el círculo.

Ejercicio. Utilizando la fórmula del área máxima Am, demuestre que si Ac = Am las ecuaciones en (10) tienen una única solución. De aquí, demuestre que no habrá solución si Ac > Am y habrá dos soluciones reales si Ac < Am.

Una vez determinados los vértices desconocidos B, C, del problema inicial se pueden dibujar las formas de los dos cuadriláteros posibles y la forma del cuadrilátero de área máxima. Para ver la reconstrucción de las figuras de los terrenos cuadrangulares del Códice Vergara puede acceder a la página------------------------------

 

 

 

 

 

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