Geometría de polígonos irregulares

Solapas principales



Triángulos y cuadriláteros


Queremos saber si las áreas de los terrenos registradas en los códices son correctas.
Para ello es necesario recordar varias propiedades de área y forma de los polígonos irregulares.
Empezaremos por los triángulos, luego los cuadriláteros. Mostramos la construcción de un cuadrilátero irregular
y damos un programa para construir polígonos arbitrarios.

  • Triángulos :

    El triángulo que se muestra abajo es el único con lados a, b, c en el sentido de las manecillas del reloj.
    El lado a es el que está sobre el eje x.

    Podríamos calcular el área con la fórmula tradicional base por altura sobre 2, pero no conocemos la altura.

    La fórmula de Heron da el área (en unidades cuadradas) usando únicamente las longitudes de los lados:

    A=
      s(s-a)(s-b)(s-c)  

    donde s es el semiperímetro, es decir


    s=(a+b+c)/2.

    En la figura
    se pueden cambiar los tamaños de los lados usando los deslizadores.

    Juega y observa.


    Observa:

    • La forma y el área dependen únicamente de las longitudes (y orden) de los lados.
    • Si un lado es mayor que la suma de los otros, no se puede formar un triángulo (el área aparece como NaN, Not A Number, No un
      Número).
    • ¿Qué son los círculos y qué les pasa cuando desaparece el triángulo?





    • Para el triángulo 5,4,3, ¿cuánto vale el ángulo ABC? ¿Cómo sabes? ¿Puedes calcular su área sin la fórmula de Heron?





    • ¿Por qué no usamos la otra intersección entre los círculos?





    Cuadriláteros
    • Cuadriláteros :

      Veamos ahora qué pasa con los cuadriláteros.

      Las longitudes de los lados NO determinan la forma ni el área.

      En la figura de abajo los vértices B y C se pueden arrastrar y cambiar la forma
      SIN CAMBIAR LAS LONGITUDES DE LOS LADOS.

      El área se puede calcular en términos de lados y ángulos usando la fórmula de Bretschneider:

      A=
        (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos2((φ+ψ)/2)  

      donde s es nuevamente el semiperímetro y

      φ, ψ son ángulos opuestos del cuadrilátero.

      Juega y observa.


      Observa:

      • Las longitudes de los lados NO determinan el área. ¿Qué datos hay que agregar?


      • Nuevamente si un lado es mayor que la suma de los otros, no se puede formar el cuadrilátero (el área aparece como NaN, Not A Number, No un Número).
      • Las longitudes de los lados sí determinan el área máxima que puede tener el cuadrilátero.

        ¿Cuál es la fórmula para el área máxima?

      • La forma que da el área máxima es aquella que es inscribible en un círculo.



      Construcción de un cuadrilátero irregular

      Construye tu polígono


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